Szachy są naszym wzorcem głębi. Jedna niepozorna decyzja projektowa daje WordChess znacznie większą przestrzeń możliwych partii.
Napisane i zredagowane po angielsku. Ta polska wersja powstała w wyniku tłumaczenia maszynowego; tam, gdzie liczy się precyzja, rozstrzygający jest angielski oryginał. Przeczytaj oryginał po angielsku →
W 1950 roku Claude Shannon, ojciec teorii informacji, oszacował, ile różnych partii szachów jest możliwych. Jego odpowiedź, około 10120, stała się liczbą Shannona i od tamtej pory kotwiczy naszą intuicję. 1 To liczba tak wielka, że zawstydza fizyczny wszechświat, który zawiera tylko około 1080 atomów. 6 Można by dać każdemu atomowi własną szachownicę i nadal nie starczyłoby szachownic, by rozegrać każdą partię.
Szachy zasłużyły na to uczciwie. Na otwarcie białe mają 20 ruchów; czarne odpowiadają jednym z 20 i już po jednej wymianie ruchów istnieje 400 pozycji. Po sześciu półruchach liczba przekracza 119 milionów; przy dziesiątym sięga 69 bilionów. 4 Gracze nazywają to współczynnikiem rozgałęzienia, czyli liczbą dozwolonych wyborów w każdym ruchu. W szachach wynosi on średnio około 35. 2 Ta skromna liczba, mnożona ruch po ruchu, napędza tajemnicę gry. W ciągu pierwszych dwudziestu ruchów daje partie rzędu 1060. Źródłem głębi szachów nie są bierki. Jest nim rozgałęzianie.
Liczby pierwszych ruchów w szachach są znane dokładnie. Te dla WordChess to szacunki, ale obie gry rozchodzą się tak szybko, że różnica jest niewątpliwa już w ciągu jednego ruchu. 4
| Po ruchu | Szachy, dokładnie 4 | WordChess, szacunek 7 |
|---|---|---|
| 1 | 400 | ~1012 |
| 2 | 197,281 | ~1018 |
| 3 | 119,060,324 | ~1024 |
| 4 | 84,998,978,956 | ~1030 |
| 5 | 69,352,859,712,417 | ~1036 |
Liczby dla szachów to dokładne wyniki zliczania generowanych ruchów (perft). 4 Liczby dla WordChess zakładają mniej więcej milion dozwolonych ułożeń w pierwszym ruchu każdego gracza (czyli ~1012 po ruchu obu) i ostrożny tysiąc w każdym kolejnym ruchu, zob. uwagę o metodzie.
WordChess wygląda na łagodniejszego kuzyna, grę słowną na siatce, bliższą krzyżówce niż walce na noże. To wrażenie jest dokładnie błędne, a powodem jest jedna linijka w zasadach: każdy gracz ma pełny zestaw stu płytek. 7
Nie ma siedmiopłytkowego stojaka, szczęścia w losowaniu, czekania na samogłoskę. W każdym ruchu gracz może sięgnąć po niemal dowolne ze 148 941 słów słownika, słów o długości do dwudziestu pięciu liter, czyli szerokości planszy, i szukać miejsca, by je położyć. 7 Scrabble, zdławione siedmioma losowymi płytkami, może budować tylko z tego, co akurat jest na stojaku. 5 WordChess całkowicie usuwa to wąskie gardło.
Konsekwencja jest gwałtowna. Już pierwszy ruch otwiera od jednego do dwóch milionów dozwolonych ułożeń: słowo, kierunek i miejsce na szeroko otwartej planszy 25×25. Gdy obaj gracze wykonali zaledwie jeden ruch, gra rozgałęziła się na coś rzędu biliona pozycji. Szachy po tej samej wymianie mają ich czterysta. 4
Zasady są prostsze. Przestrzeń możliwości nie.
Każdy zaznaczony szczebel leży czterdzieści rzędów wielkości, czyli 1040 razy, wyżej od poprzedniego. W tej skali pierwsze dwadzieścia ruchów WordChess wspina się daleko ponad liczbę atomów we wszechświecie i ląduje dokładnie tam, gdzie znajduje się cała partia szachów. 1
W miarę zapełniania się planszy współczynnik rozgałęzienia szachów rośnie w stronę 35 i tam się utrzymuje. W WordChess pozostaje w tysiącach: każde już zagrane słowo staje się nową kotwicą, do której można się podczepić, a pełny zestaw płytek sprawia, że jedynym realnym ograniczeniem jest to, na jakie skrzyżowania pozwala słownik. 7
Przewińmy to naprzód. Nawet gdyby każda tura, łącznie z bogatym otwarciem, dawała tylko celowo ostrożny tysiąc dozwolonych ruchów, WordChess osiągnąłby 10120, liczbę Shannona, złożoność całej partii szachów, w ciągu pierwszych dwudziestu ruchów. Przyjmijmy dziesięć tysięcy ruchów na turę, co wciąż jest rozsądne, a dwadzieścia ruchów zbliża się do 10160: przewaga od sześćdziesięciu do stu rzędów wielkości nad 1060 szachów. 1
Zmniejszmy szacunek, aż założymy, że gracz znajduje tylko trzysta dozwolonych ruchów na turę, ułamek prawdziwej liczby, a dwadzieścia ruchów wciąż daje 1099. To nadal czterdzieści rzędów wielkości ponad szachami. Wniosek przetrwa każde pesymistyczne założenie, jakie mu podsuniesz. 1
Liczby dla szachów są wynikiem dziesięcioleci wyczerpujących obliczeń; są znane. Liczby dla WordChess to staranne szacunki, oparte na rzeczywistych parametrach gry: planszy 25×25, słowniku liczącym 148 941 słów i pełnym zestawie 100 płytek w ręku każdego gracza, i obarczone są szerokimi przedziałami błędu. Nie ma natomiast wątpliwości co do kierunku i skali różnicy. Każde założenie w tym tekście wybrano tak, by było ostrożne, a różnica i tak jest ogromna.
Szachy cię ograniczają: skoczek porusza się jak skoczek, pion posuwa się o jedno pole, a twoje możliwości, choć bogate, są skończone i znajome. WordChess daje ci cały język i całą planszę i prosi, byś wybierał. Na tym polega kompromis, na który idzie ten projekt, i to dlatego przyjazna siatka skrywa kombinatoryczny ocean.
Nic z tego nie dowodzi, że w WordChess trudniej jest grać dobrze; większa przestrzeń przeszukiwania to nie to samo co głębsza strategia, a geniusz szachów polega na tym, ile znaczenia wyciskają ze swojego wąskiego rozgałęzienia. Ale każdy, kto wyobraża sobie grę słowną jako lżejszą opcję, ma matematykę dokładnie na odwrót. Przez pierwsze dwadzieścia ruchów WordChess sprawia, że wielka gra królów wygląda niemal na małą.
Method. "20 moves" means 20 by each player, 40 half-moves, the chess convention. Chess: game count ≈ b40 with b ≈ 30–35 → ~1060. WordChess: opening branching estimated from (playable words that fit through the centre) × (placements per word) ≈ 106 per side; later turns held at a conservative 103–104. The 20-move figures deliberately apply that later-turn b to all 40 half-moves, openings included: b40 ≈ 10120–10160, a floor; counting the two ~106 opening turns adds about six more orders of magnitude (≈10126–10166). The 1099 floor uses b = 300 throughout. These are estimates, not proofs; see "A note on certainty."