Ukryta wydajność systemu trójkowego i pytanie, czy gra na nim zbudowana jest po cichu elegantszą maszyną.
Napisane i zredagowane po angielsku. Ta polska wersja powstała w wyniku tłumaczenia maszynowego; tam, gdzie liczy się precyzja, rozstrzygający jest angielski oryginał. Przeczytaj oryginał po angielsku →
3927 to 2048 przebudowane w trzech wymiarach i w innej arytmetyce. Plansza jest sześcianem 3×3×3, ma dwadzieścia siedem pól, a cały sześcian przesuwasz w dowolnym z sześciu kierunków. Gdy zderzą się trzy płytki o równej wartości, nie podwajają się, lecz potrajają. Trójka staje się dziewiątką, dziewiątka dwudziestką siódemką, i tak dalej: 81, 243, 729. Sama nazwa wylicza trzy pierwsze płytki, 3·9·27, a w całym projekcie trójki sięgają samego dna: trzy na oś, trzy do połączenia, trzy jako współczynnik wzrostu. 4
Jego przodek jest uparcie dwójkowy. Klasyczne 2048 operuje potęgami dwójki, 2, 4, 8, 16…, i łączy płytki w pary. Dwójka to liczba rzutu monetą, tranzystora, bitu. Naturalne pytanie ciekawego gracza brzmi więc: czy zamiana dwójki na trójkę to zwykła nowinka, czy też trójka przez cały czas skrywała prawdziwą przewagę? Okazuje się, że matematyka ma w tej sprawie zdanie, i to zaskakująco stanowcze.
Wyobraź sobie, że musisz zbudować maszynę przechowującą liczby. Każda pozycja cyfry coś kosztuje, koło, przewód, lampę, a koszt ten rośnie z podstawą, bo cyfra w systemie o podstawie b wymaga b rozróżnialnych stanów. Ale większa podstawa oznacza też, że do zapisania danej liczby potrzeba mniej cyfr. Jest tu napięcie i ma ono nazwę: ekonomia podstawy (radix economy).
Formalnie ekonomia zapisu liczby N w systemie o podstawie b to podstawa pomnożona przez liczbę cyfr, E(b,N) = b ⌊log_b N + 1⌋. 1 Duża podstawa daje krótkie liczby, ale drogie cyfry; mała podstawa jest tania na cyfrę, ale się rozrasta. Gdzieś między tymi skrajnościami leży złoty środek, i nie tam wylądowała większość naszej technologii.
| Podstawa | b ÷ ln b | wobec optimum |
|---|---|---|
| 2 | 2.885 | +6.2% |
| 3 | 2.731 | +0.5% |
| e ≈ 2.718 | 2.718 | optimum |
| 10 | 4.343 | +59.8% |
Dla dużych N ekonomia zachowuje się jak (b ÷ ln b) · ln N, więc wydajność podstawy zależy wyłącznie od czynnika b ÷ ln b. Zminimalizuj go odrobiną rachunku różniczkowego, a odpowiedź okaże się dokładna i dziwna: najbardziej ekonomiczną podstawą ze wszystkich jest e, około 2,71828. 1 Oczywiście nie da się zbudować komputera z 2,718 stanu na cyfrę. Można jednak zapytać, która liczba całkowita leży najbliżej tego ideału, a zwycięzcą, pokonującym zarówno dwójkę, jak i dziesiątkę, jest trójka.
Ta różnica nie jest akademicka. System trójkowy mieści się w granicach pół procenta od teoretycznego optimum, podczas gdy dwójkowy płaci sześcioprocentową dopłatę, a dziesiętny miażdżące sześćdziesiąt procent. Konkretny sposób, by to poczuć: aby zapisać każdą liczbę od 0 do 999 999, system dwójkowy potrzebuje 20 cyfr, dziesiętny 6, a trójkowy tylko 13, i 13×3 daje mniejszą sumę niż 20×2. 1 Trójka naprawdę mieści więcej liczenia w mniejszej strukturze.
Naturę zapytano o najwydajniejszy sposób liczenia, a ona odpowiedziała liczbą niewymierną. Najbliższą tej odpowiedzi liczbą całkowitą jest trzy.
To nie jest tylko podręcznikowa ciekawostka. W 1958 roku na Moskiewskim Uniwersytecie Państwowym zespół kierowany przez Nikołaja Brusiencowa i matematyka Siergieja Sobolewa zbudował Setuń, najsłynniejszy komputer trójkowy, jaki kiedykolwiek powstał. 3 Gdy Zachód stawiał na bity, Setuń liczył w trytach i używał wyjątkowo pięknego schematu: zrównoważonego systemu trójkowego, którego trzy wartości cyfr to nie 0, 1, 2, lecz −1, 0, +1. 2
Symetria od razu się opłaca. Liczba niesie własny znak, bez osobnego bitu znaku i bez łamańców uzupełnienia do dwóch, a żeby zanegować dowolną wartość, wystarczy odwrócić każdą cyfrę. Zaokrąglanie i obcinanie stają się tą samą operacją. Donald Knuth uznał go za „być może najpiękniejszy system liczbowy ze wszystkich”. 2 Brusiencow, nie mając tranzystorów, wydobył trzy stabilne stany z par rdzeni ferrytowych; zbudowano około pięćdziesięciu Setuni, w większości wysłanych do nauczania matematyki na uczelniach w całym Związku Radzieckim. 3 Maszyna działała, była tania i po cichu wyprzedzała swoich sąsiadów.
Tu uważny autor musi się powstrzymać. Ekonomia podstawy to twierdzenie o przechowywaniu i przetwarzaniu liczb przy określonych założeniach kosztowych, a nawet matematycy zauważają, że te założenia są jedynie przybliżone; pełniejszy rachunek często na nowo uzasadnia system dwójkowy, i dlatego świat na nim działa. 1 Łamigłówka z łączeniem płytek nie jest bankiem pamięci; nikt nie minimalizuje liczby lamp podczas przerwy na kawę. 3927 nie jest więc „wydajniejsze” w żadnym poważnym inżynierskim sensie i byłoby oszustwem tak twierdzić.
A jednak. Gra dziedziczy coś prawdziwego. Wzrost przez potrajanie dochodzi do dużych liczb w mniejszej liczbie ruchów o większej wadze; każde połączenie wykonuje więcej pracy, a sześcian 3×3×3 to najmniejsza plansza, na której trójstronne łączenie może oddychać w każdym kierunku. 4 Projekt nie trafił na trójkę przypadkiem: wylądował na liczbie całkowitej, którą matematyka liczenia po cichu preferuje od zarania elektronicznych obliczeń, tej samej, którą inżynierowie Setuni wybrali celowo. Dwójka to liczba, przy której zostaliśmy z rozpędu. Trójka to liczba, którą byśmy wybrali, gdyby ostatnie słowo miała wydajność, a nie rzut monetą. To, że płytki akurat składają się w 3, 9, 27, to mały żart, który wszechświat opowiadał już od dawna.
Game facts, the 3×3×3 board, six shift directions, three-tile ×3 merge, and the 3·9·27 naming, are measured from the game's design documents. Mathematical and historical claims are drawn from the references below.