Pojedynek przestrzeni stanów: płaska siatka dwójek kontra sześcian zbudowany wyłącznie z trójek.
Napisane i zredagowane po angielsku. Ta polska wersja powstała w wyniku tłumaczenia maszynowego; tam, gdzie liczy się precyzja, rozstrzygający jest angielski oryginał. Przeczytaj oryginał po angielsku →
Obie gry to łamigłówki z przesuwanymi liczbami. W 2048 pchasz siatkę 4×4 złożoną z szesnastu pól w jednym z czterech kierunków; równe płytki zderzają się i podwajają, wspinając się po potęgach dwójki. W 3927 pchasz sześcian 3×3×3 złożony z dwudziestu siedmiu pól w jednym z sześciu kierunków; trzy równe bloki zderzają się i potrajają, wspinając się po potęgach trójki: 3, 9, 27, czyli dokładnie cyfry z nazwy. 1 Pytanie, która z nich jest trudniejsza, to w istocie pytanie, która gra skrywa większy ocean możliwych pozycji. Spróbujmy więc zmierzyć tę wodę.
Surowy rozmiar planszy rośnie jak (symbole na pole)cells, gdzie „cells” oznacza liczbę pól. Liczba pól siedzi w wykładniku, a tam właśnie tkwi cała dźwignia. 2048 oferuje szesnaście pól, 3927 dwadzieścia siedem. Przy ustalonym alfabecie jednego pola sześcian jest już większy mniej więcej o czynnik a27−16 = a11; przy alfabecie dziesięciu symboli daje to samo w sobie sto miliardów razy więcej stanów, zanim uwzględnimy cokolwiek innego. Prawdziwym motorem jest dodatkowy wymiar, a nie arytmetyka o podstawie 3.
Każde pole jest albo puste, albo zawiera jedną wartość płytki. W 2048 ograniczonym do płytki 256 pole wypowiada jeden z dziewięciu symboli: puste plus {2, 4, 8, 16, 32, 64, 128, 256}. Opublikowane ograniczenie górne zbudowane dokładnie z tego alfabetu szacuje planszę 4×4 na około 5,63 × 1014 pozycji, a autorzy otwarcie przyznają, że ten pułap obejmuje plansze niedozwolone, które nigdy nie mogą faktycznie wystąpić. 2 Dajmy 3927 porównywalną głębię, puste plus {3, 9, 27, 81, 243, 729, 2187}, czyli osiem symboli, a jego surowy pułap wyniesie 827 ≈ 2,4 × 1024. Podstawa 3 daje 3927 mniej symboli na pole, niż dałaby podstawa 2; jedenaście dodatkowych pól oddaje mu z nawiązką całe niebo.
Pogłęb nieco drabiny wartości, a pułap 3927 prześcignie pułap 2048 gdzieś od miliarda do stu miliardów razy. Sześcian wygrywa na wykładniku.
Nikt nie wyliczył osiągalnych stanów pełnowymiarowego 2048, a co dopiero 3927. Badacze rozwiązali jednak wyczerpująco pomniejszone plansze 2048 i te dokładne liczby kotwiczą nasze szacunki. Plansza 3×3 w 2048 mieści 48 713 519 osiągalnych stanów; rozciągnij ją do 4×3, a liczba przeskakuje bilion: 1 152 817 492 752 stany, w tym 739 648 886 170 różnych pozycji po ruchu. 3 Każde dodane pole mnoży świat. Ekstrapoluj tę krzywą do 27 pól, a żadna uczciwa tabela nie zdoła wydrukować pojedynczej liczby.
| Właściwość | 2048 | 3927 |
|---|---|---|
| Plansza | płaska 4×4 | sześcian 3×3×3 |
| Pola | 16 | 27 |
| Podstawa systemu liczbowego | 2 | 3 |
| Reguła łączenia | 2 jednakowe → podwojenie | 3 jednakowe → potrojenie |
| Kierunki przesunięcia | 4 | 6 |
| Symbole na pole (przy porównywalnej głębi) | 9 | 8 |
| Surowy pułap (wraz z niedozwolonymi) | ~1.9 × 10¹⁵ | ~2.4 × 10²⁴ |
| Cytowane zawężone ograniczenie górne | 5.63 × 10¹⁴ | nie opublikowano |
| Dokładne zliczenie, podplansza 4×3 | 1.15 × 10¹² | , |
Każda duża liczba jest tu ograniczeniem górnym albo szacunkiem rzędu wielkości, nigdy spisem. Pułapy liczą plansze, do których zgodna z regułami gra nigdy nie dotrze, na przykład planszę z jedną samotną płytką (obie gry zaczynają się od dwóch płytek, i po każdym ruchu dodają nową, więc na żadnej planszy nigdy nie zostaje tylko jedna płytka), albo wartości, których żadna sekwencja połączeń nie może wytworzyć. Liczby dla 2048 pochodzą z recenzowanych prac; liczby dla 3927 to moje własne pułapy liczone na kolanie, obliczone w ten sam sposób, i należy je czytać jako „nie więcej niż tyle, prawdopodobnie znacznie mniej”. Reguły obu gier są odczytane z dokumentacji projektowej gier, a nie założone.
Rozmiar przestrzeni stanów to mapa; współczynnik rozgałęzienia to tempo, w jakim ją przemierzasz. W każdej turze gracz wybiera kierunek, do czterech w 2048 i do sześciu w 3927, więc sześcian oferuje o pięćdziesiąt procent więcej rzeczywistych wyborów na ruch. Potem wkracza przypadek: gra wrzuca nową płytkę w losowe puste pole. 2048 tworzy 2 albo 4, czyli mniej więcej dwa wyniki na każde wolne pole, przy nawet piętnastu pustych polach; 3927 zawsze tworzy pojedynczą 3, ale w jednym z nawet dwudziestu sześciu pustych pól. 1 Pomnóż decyzję przez przypadek, a drzewo gry 3927 rozgałęzia się szerzej na każdym półruchu, a ponieważ połączenia trzech płytek są rzadsze niż połączenia dwóch, rozgrywki trwają zwykle dłużej, co drzewo zarówno poszerza, jak i pogłębia.
„Trudniejsze” dla człowieka to kwestia odczucia, a 2048 wcale nie jest łatwym przeciwnikiem: rozstrzygnięcie, czy z dowolnej pozycji da się dojść do docelowej płytki, jest na planszy ogólnej dowodliwie NP-trudne. 4 Jako obiekt kombinatoryczny 3927 jest jednak większym zwierzęciem, z szerokim i uczciwym zapasem: więcej pól w wykładniku, więcej kierunków w rozgałęzieniu, dłuższe partie w głębi. Arytmetyka o podstawie 3, od której gra wzięła nazwę, jest niemal fałszywym tropem. Trudność nigdy nie tkwiła w trójkach. Tkwiła w trzecim wymiarze.
Method: per-cell alphabet counts and the ceilings 916 and 827 are elementary combinatorics on matched value-ladder depths; the 2048 refined bound and exact sub-board counts are quoted from the cited papers. All 3927 figures are the author's estimates computed by the same recipe and are upper bounds, not enumerations. Where the two games' possibility spaces are compared, ratios are stated as ranges to reflect that uncertainty.